Задача 64: квадратные корни четного периода
Все квадратные корни периодичны, когда записываются как непрерывные дроби и могут быть записаны в виде:
√N = a0 + 1
a1 + 1
a2 + 1
a3 + ...
Например, рассмотрим √23:
√23 = 4 + √23 - 4 = 4 + 1 = 4 + 1
1√23-4
1 + √23 - 37
Если продолжить, мы получим следующее расширение:
√23 = 4 + 1
1 + 1
3 + 1
1 + 1
8 + ...
Процесс можно резюмировать следующим образом:
a0 = 4,
1√23-4 = √23 + 47 = 1 + √23-37 a1 = 1,
7√23-3 = 7 (√23 + 3) 14 = 3 + √23-32 a2 = 3,
2√23-3 = 2 (√23 + 3) 14 = 1 + √23-47 a3 = 1,
7√23-4 = 7 (√23 + 4) 7 = 8 + √23-4 a4 = 8,
1√23-4 = √23 + 47 = 1 + √23-37 a5 = 1,
7√23-3 = 7 (√23 + 3) 14 = 3 + √23-32 a6 = 3,
2√23-3 = 2 (√23 + 3) 14 = 1 + √23-47 a7 = 1,
7√23-4 = 7 (√23 + 4) 7 = 8 + √23-4
Можно видеть, что последовательность повторяется. Для краткости мы используем обозначение √23 = [4; (1,3,1,8)], чтобы указать, что блок (1,3,1,8) повторяется бесконечно.
Первые десять непрерывных дробных представлений (иррациональных) квадратных корней: √2 = [1; (2)], период = 1 √3 = [1; (1,2)], период = 2 √5 = [2; (4)], период = 1 √6 = [2; (2,4)], период = 2 √7 = [2; (1,1,1,4)], период = 4 √8 = [2; (1,4)], период = 2 √10 = [3; (6)], период = 1 √11 = [3; (3,6)], период = 2 √12 = [3; (2,6 )], период = 2 √13 = [3; (1,1,1,1,6)], period = 5 Точно четыре непрерывные дроби при N ≤ 13 имеют нечетный период. Сколько длинных фракций для N ≤ 10000 имеет нечетный период?