Задача 65: Конвергенты e
Квадратный корень из 2 можно записать в виде бесконечной цепной дроби.
√2 = 1 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + ...
Бесконечную непрерывную дробь можно записать: √2 = [1; (2)], (2) указывает, что 2 повторяется до бесконечности. Аналогичным образом √23 = [4; (1,3,1,8)]. Оказывается, что последовательность парциальных значений цепных дробей для квадратных корней обеспечивает наилучшие рациональные аппроксимации. Рассмотрим сходимости для √2.
1 + 1 = 3/2
2
1 + 1 = 7/5
2 + 1
2
1 + 1 = 17/12
2 + 1
2 + 1
2
1 + 1 = 41/29
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2
Следовательно, последовательность первых десяти сходящихся для √2 равна: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378 , ... Самое удивительное, что важная математическая константа e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, ..., 1,2k, 1, ...]. Первые десять членов в последовательности сходящихся для e: 2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536,. .. Сумма цифр в числителе 10-го сходящегося числа равна 1 + 4 + 5 + 7 = 17. Найдите сумму цифр в числителе 100-го сходящегося непрерывной дроби для e.