Задача 285: шансы Пифагора
Альберт выбирает положительное целое число k, тогда два действительных числа a, b случайным образом выбираются в интервале [0,1] с равномерным распределением. Тогда квадратный корень из суммы (k · a + 1) 2 + (k · b + 1) 2 вычисляется и округляется до ближайшего целого числа. Если результат равен k, он набирает k очков; иначе он ничего не наберет.
Например, если k = 6, a = 0,2 и b = 0,85, то (k · a + 1) 2 + (k · b + 1) 2 = 42,05. Квадратный корень из 42.05 составляет 6,484 ... и округленный до ближайшего целого, он становится равным 6. Это равно k, поэтому он набирает 6 очков.
Можно показать, что если он играет 10 оборотов с k = 1, k = 2, ..., k = 10, ожидаемое значение его общего балла, округленное до пяти знаков после запятой, равно 10.20914.
Если он играет 105 оборотов с k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105, каково ожидаемое значение его общего балла, округленное до пяти знаков после запятой?