Задача 295: Линзовидные отверстия
Мы называем выпуклую область, окруженную двумя кругами линзовидным отверстием, если: Центры обеих окружностей находятся в точках решетки. Два круга пересекаются в двух разных точках решетки. Внутренность выпуклой области, окруженной обоими кругами, не содержит точек решетки.
Рассмотрим кружки: C0: x2 + y2 = 25 C1: (x + 4) 2+ (y-4) 2 = 1 C2: (x-12) 2+ (y-4) 2 = 65
Круги C0, C1 и C2 изображены на рисунке ниже.
C0 и C1 образуют линзовидное отверстие, а также C0 и C2.
Будем называть упорядоченную пару положительных вещественных чисел (r1, r2) линзовидной парой, если существуют две окружности с радиусами r1 и r2, которые образуют линзовидное отверстие. Мы можем проверить, что (1, 5) и (5, √65) являются линзовидными парами вышеприведенного примера.
Пусть L (N) - число различных линзообразных пар (r1, r2), для которых 0 <r1 ≤ r2 ≤ N. Мы можем проверить, что L (10) = 30 и L (100) = 3442.
Найдите L (100 000).