Задача 318: 2011 куклы
Рассмотрим вещественное число √2 + √3. Когда мы вычисляем четные степени √2 + √3, получаем: (√2 + √3) 2 = 9.898979485566356 ... (√2 + √3) 4 = 97.98979485566356 ... (√2 + √3) 6 = 969.998969071069263 ... (√2 + √3) 8 = 9601.99989585502907 ... (√2 + √3) 10 = 95049.999989479221 ... (√2 + √3) 12 = 940897.9999989371855 ... (√2 + √3) 14 = 9313929.99999989263 ... (√2 + √3) 16 = 92198401.99999998915 ...
Похоже, что число последовательных девяток в начале дробной части этих степеней не уменьшается. На самом деле можно доказать, что дробная часть (√2 + √3) 2n приближается к 1 при больших n.
Рассмотрим все вещественные числа вида √p + √q с p и q положительными целыми числами и p <q, так что дробная часть (√p + √q) 2n приближается к 1 при больших n.
Пусть C (p, q, n) - число последовательных nines в начале дробной части (√p + √q) 2n.
Пусть N (p, q) - минимальное значение n такое, что C (p, q, n) ≥ 2011.
Найти ΣN (p, q) для p + q ≤ 2011.