Задача 368: серия, похожая на Кемпнера
Известно, что гармонический ряд $ 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {4} + ... $ является расходящимся.
Если мы, однако, опускаем из этого ряда каждый член, где знаменатель имеет в нем 9, то ряд замечательно сходится примерно к 22.9206766193. Этот модифицированный гармонический ряд называется серией Кемпнера.
Рассмотрим теперь еще один модифицированный гармонический ряд, опуская из гармонического ряда каждый член, где знаменатель имеет 3 или более одинаковых последовательных цифры. Можно проверить, что из первых 1200 членов гармонического ряда будут опущены только 20 членов. Эти 20 пропущенных терминов: $$ \ dfrac {1} {111}, \ dfrac {1} {222}, \ dfrac {1} {333}, \ dfrac {1} {444}, \ dfrac {1} { 555}, \ dfrac {1} {666}, \ dfrac {1} {777}, \ dfrac {1} {888}, \ dfrac {1} {999}, \ dfrac {1} {1000}, \ dfrac {1} {1110}, \\ \ dfrac {1} {1111}, \ dfrac {1} {1112}, \ dfrac {1} {1113}, \ dfrac {1} {1114}, \ dfrac {1} {1115}, \ dfrac {1} {1116}, \ dfrac {1} {1117}, \ dfrac {1} {1118}, \ dfrac {1} {1119} $$
Этот ряд также сходится.
Найдите значение, с которым сходится ряд. Дайте ваш ответ округленным до десяти цифр за десятичной точкой.