Задача 376: Непереходные множества кубиков
Рассмотрим следующий набор кубиков с нестандартными пипами:
Die A: 1 4 4 4 4 4 Die B: 2 2 2 5 5 5 Die C: 3 3 3 3 3 6
В игре играют два игрока, которые в свою очередь собирают штамп и катят его. Побеждает игрок, который набирает наибольшее значение.
Если первый игрок выбирает A, а второй игрок выбирает B, мы получаем P (побеждает второго игрока) = 7/12> 1/2
Если первый игрок выбирает штамп B, а второй игрок выбирает die C, мы получаем P (выигрывает второй игрок) = 7/12> 1/2
Если первый игрок выбирает кубик C, а второй игрок выбирает die A, мы получаем P (второй игрок выигрывает) = 25/36> 1/2
Так что, какой бы ни был первый игрок, второй игрок может выбрать другого умения и иметь более 50% шансов на победу. Набор кубиков, обладающих этим свойством, называется непереходным множеством кубиков.
Мы хотим исследовать, сколько существует множеств непереходных кубиков. Будем считать следующие условия: Есть три шестигранных кубика, каждая из которых имеет от 1 до N пипсов включительно. Кубики с одинаковым набором пипсов равны, независимо от того, на какой стороне на матрице расположены точки. То же самое значение пика может появляться на нескольких игральных костях; если оба игрока откатывают то же значение, ни один из игроков не выигрывает. Множества кубиков {A, B, C}, {B, C, A} и {C, A, B} являются одним и тем же множеством.
При N = 7 мы находим 9780 таких множеств. Сколько из них существует для N = 30?