Проблема 473: база цифровых цифровых
Пусть $ \ varphi $ является золотым соотношением: $ \ varphi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2}. $ Замечательно, что каждое положительное целое можно записать в виде суммы степеней $ \ varphi $ even если мы требуем, чтобы каждая степень $ \ varphi $ использовалась не более одного раза в этой сумме. Даже тогда это представление не является уникальным. Мы можем сделать его уникальным, требуя, чтобы не использовались мощности с последовательными показателями и что представление конечно. Например: $ 2 = \ varphi + \ varphi ^ {- 2} $ и $ 3 = \ varphi ^ {2} + \ varphi ^ {- 2} $
Чтобы представить эту сумму степеней $ \ varphi $, мы используем строку из 0 и 1 с точкой, указывающей, где начинаются отрицательные показатели. Мы называем это представлением в phigital numberbase. Итак, $ 1 = 1 {\ varphi} $, $ 2 = 10.01 {\ varphi} $, $ 3 = 100.01 {\ varphi} $ и $ 14 = 100100.001001 {\ varphi} $. Строки, представляющие 1, 2 и 14 в базе цифровых цифровых символов, являются палиндромными, а строка, представляющая 3, - нет. (цифровая точка не является средним символом).
Сумма положительных целых чисел, не превышающая 1000, чьи пампиндромические представления являются цифрами 4345.
Найдите сумму положительных целых чисел, не превышающую $ 10 ^ {10} $, чье цифровое представление является палиндромным.