Метод Эйлера
Метод Эйлера численно аппроксимирует решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (ОДУ) с заданным начальным значением. Это явный метод решения начальных задач (IVP), как описано на странице wikipedia .
ОДУ должно быть представлено в следующем виде:
:: $ \ frac {dy (t)} {dt} = f (t, y (t)) $
с начальным значением
:: $ y (t_0) = y_0 $
Чтобы получить числовое решение, мы заменим производную на LHS с помощью разностной аппроксимации:
:: $ \ frac {dy (t)} {dt} \ approx \ frac {y (t + h) -y (t)} {h} $
затем решить для $ y (t + h) $:
:: $ y (t + h) \ approx y (t) + h \, \ frac {dy (t)} {dt} $
который является таким же, как
:: $ y (t + h) \ approx y (t) + h \, f (t, y (t)) $
Итеративное правило решения:
:: $ y_ {n + 1} = y_n + h \, f (t_n, y_n) $
где $ h $ - размер шага, наиболее важный параметр для точности решения. Чем меньше размер шага, тем выше точность, но также и стоимость вычислений, поэтому его всегда нужно выбирать вручную в зависимости от проблемы.
Пример: закон охлаждения Ньютона
Закон охлаждения Ньютона описывает, как объект начальной температуры $ T (t_0) = T_0 $ остывает в среде с температурой $ T_R $ :
:: $ \ frac {dT (t)} {dt} = -k \, \ Delta T $
или
:: $ \ frac {dT (t)} {dt} = -k \, (T (t) - T_R) $
В нем говорится, что скорость охлаждения $ \ frac {dT (t)} {dt} $ объекта пропорциональна текущей разности температур $ \ Delta T = (T (t) - T_R) $ в окружающую среду.
Аналитическое решение, которое мы будем сравнивать с численным приближением,
:: $ T (t) = T_R + (T_0 - T_R) \; е ^ {-} $ кт
Задача:
Внедрить рутину метода Эйлера, а затем использовать его для решения данного примера закона охлаждения Ньютона с ним для трех разных размеров шага:
:: * 2 с
:: * 5 с и
:: * 10 с
и сравнить с аналитическим решением.
Начальные значения:
:: * начальная температура $ T_0 $ должна быть 100 ° C
:: * комнатная температура $ T_R $ должна составлять 20 ° C
:: * постоянная охлаждения $ k $ должна составлять 0,07
:: * интервал времени для вычисления должен составлять от 0 с ──► 100 с
Implement a routine of Euler's method and then to use it to solve the given example of Newton's cooling law with it for three different step sizes of:
2 s5 sand10 s
and to compare with the analytical solution.
Initial values:
- initial temperature $T_0$ shall be
100 °C - room temperature $T_R$ shall be
20 °C - cooling constant $k$ shall be
0.07 - time interval to calculate shall be from
0 sto100 s